闭包就是由一个属性直接或间接推导出的所有属性的集合

以下是写的比较科学规范的闭包求解方法，设X和Y均为关系R的属性集的子集，F是R上的函数依赖集，若对R的任一属性集B，一旦X→B，必有B⊆Y，且对R的任一满足以上条件的属性集Y1 ，必有Y⊆Y1，此时称Y为属性集X在函数依赖集F下的闭包，记作X＋。

计算关系R的属性集X的闭包的步骤如下：

第一步：设最终将成为闭包的属性集是Y，把Y初始化为X； 第二步：检查F中的每一个函数依赖A→B，如果属性集A中所有属性均在Y中，而B中有的属性不在Y中，则将其加入到Y中； 第三步：重复第二步，直到没有属性可以添加到属性集Y中为止。 最后得到的Y就是X＋

闭包练习一：

设有关系模式R(U，F)，其中U={A，B，C，D，E，I}，F={A→D，AB→E，BI→E，CD→I，E→C}，计算(AE)+

答案要点： (1) 令X={AE}，X(0)=AE (2)在F中寻找尚未使用过的左边是AE的子集的函数依赖，结果是: A→D， E→C；所以 X(1)=X(0)DC=ACDE， 显然 X(1)≠X(0). (3)在F中寻找尚未使用过的左边是ACDE的子集的函数依赖， 结果是: CD→I；所以X(2)=X(1)I=ACDEI。虽然X（2）≠X(1)，但F中寻找尚未使用过函数依赖的左边已经没有X（2）的子集，所以不必再计算下去，即(AE)+=ACDEI。

闭包练习二：

设有函数依赖集F={AB→CE, A→C, GP→B, EP→A, CDE→P, HB→P, D→HG, ABC→PG}，求属性D关于F的闭包D+。设有函数依赖集F={AC→PE, PG→A, B→CE, A→P, GA→B, GC→A, PAB→G, AE→GB, ABCP→H}，求属性集BG关于F的闭包(BG)+。

答案要点：

令X={D} , X(0)=D -----1分 X(1)=DHG -----1分 X(2)=DHG -----1分 故D+=DHG。-----1分令X={BG}, X(0)=BG, -----1分 X(1)=BGCE, -----1分 X(2)=BGCEA, -----1分 X(3)=BGCEAP, -----1分 X(4)=BGCEAPH=U, -----1分 故(BG)+= BGCEAPH。-----1分

闭包练习三： 已知关系模式R(A,B,C,D,E)和函数依赖集F={AB→C, B→D, C→E, EC→B, AC→B, D→BE}。试问AC→BE能否从F导出？请分别用两种方法进行计算： 1.运用推理规则推导；（4分） 2.求属性集AC关于函数依赖集F的闭包。（7分）

答案要点：

对已知的AC→B和B→D，根据传递规则，AC→D成立。------2分 对已证的AC→D和已知的D→BE，根据传递规则，AC→BE成立，即AC→BE能从F中导出。------2分令X={AC}, X(0)=AC, -----1分 X(1)=ACEB, -----1分 X(2)=ACEBD, -----1分 X(3)=ACEBD=U, -----1分 故(AC)+= ACEBD。-----1分 因为BE(AC)+ ，所以AC→BE能从F中导出。-----2分